On s'intéresse ici à l'utilisation de la méthode d'Euler pour résoudre le problème posé par une chute verticale avec frottement.

Le principe fondamental de la dynamique F=m dv/dt
l'expression de la force de pesanteur F1= m g
et l'expression de la force de frottement F2= -k v ou F3= -k v² v/v

permettent de déterminer la trajectoire d'un objet de masse m, le programme de Terminale S limite l'étude à une chute verticale.

Pour une approche plus complète de la méthode d'Euler, on lira avec le plus grand profit les articles de Dominique Tournès et Daniel Courounadin sur le site web de Yves Martin : http://www-cabri.imag.fr/abracadabri/Courbes/EquaDiff/EDiffGene.html
http://www-cabri.imag.fr/abracadabri/Coniques/UtilizConik/EulerPlanet/EulerPlanet.html
pour les points de vue géométriques.

L'approche des calculs présentés ici correspond à l'esprit du nouveau programme de Sciences Physiques de 2002 : " ... calculer et prévoir l'évolution temporelle d'un système mécanique une fois connue les forces mises en jeu et les conditions initiales." Groupe d'Experts Physique Chimie Février 2001 pour le TP "Résolution pas à pas de l'équation différentielle d'un mouvement à une dimension (chute verticale avec frottement) ; importance du choix de pas de discrétisation temporelle."

Méthode d'Euler

Les relations importantes :

Forces subies par la masse :
F1 = m g i, la force est dirigée vers le bas (x positifs), i est le vecteur unitaire dirigé vers le bas.
F2 = -k v² v/v , la force s'oppose au mouvement, les vitesses sont relativement grandes.
F3 = -k v, la force s'oppose au mouvement, les vitesses sont faibles, les écoulements résultants sont laminaires.

Principe fondamental de la dynamique:
F = ms a = ms dv/dt
Selon l'ordre d'approximation avec la méthode d'Euler, on aura :
ordre 1
r1 = ro + vo dt (ou dr = v dt) au premier ordre
v1 = vo + ao dt
et
r_i+1 = r_i + v_i dt
v_i+1 = v_i + a_i dt pour le i ème calcul

ordre 2
r2 = ro + vo dt + ao dt² /2 au deuxième ordre
v1 = vo + ao dt
ordre 3
r3 = ro + vo dt + ao dt² /2 + dao/dt dt³ /6 au troisième ordre
v3 = vo + ao dt + dao/dt dt² /2

Méthode analytique:
Selon le cas , l'équation différentielle de la vitesse sera intégrée "manuellement" ou bien avec un logiciel de calcul formel comme Maple (un exemple de session Maple).

Cas où la force est F2=-k v² v/v .

Cas où la force est F3=-k v .